Abrí en otra pestaña https://www.geogebra.org/graphing y graficá la función $f(x)=2 \cos (2 x+\pi)-\sqrt{3}$. Una vez que ya la tengas graficada, vamos pensando juntos las respuestas viendo el gráfico:

Dominio: $\mathbb{R}$ (que aparte tiene sentido, no? ya viendo la expresión de $f$ veíamos que no tenía ninguna restricción)

Imagen: La imagen va desde donde $f$ alcanza los mínimos hasta donde alcanza los máximos. Fijate que si en GeoGebra te parás en un mínimo, su coordenada $y$ es algo así como $-3.73...$ y la de los máximos es $0.26...$

En el próximo item vamos a encontrar análiticamente los máximos y mínimos y vamos a tener una manera más linda de escribir la imagen. Por ahora los dejamos así con sus infinitos decimales, y la imagen entonces de acuerdo al gráfico es $(-3.73... , 0.26...)$

Para responder las siguientes es clave que hayas visto la segunda clase de Funciones Trigonométricas. Con lo que vimos en esa clase, entonces...

Período: Acá si me voy a detener. El período de una función trigonométrica es básicamente cada cuántas unidades en el eje $x$ la función repite su patrón. Por ejemplo, en el caso de la función $f(x) = \sin(x)$, nosotros vimos en las clases de Funciones Trigonométricas que un patrón completo entra perfecto en el intervalo de $0$ a $2\pi$, y luego se repite, y se repite, y se repite... En este caso decimos que el período es $2\pi$. 

Si escribimos cualquier función trigonométrica en su forma más general, $A \sin(bx+c) + D$, podemos saber el período fijandonos en la frecuencia, que es ese parámetro $b$ que multiplica a la $x$ adentro del $\sin$. El período está dado por $\frac{2\pi}{b}$. 

Entonces, en este caso el período de $f$ es $\frac{2\pi}{2} = \pi$. ¿Tiene sentido este resultado con lo que estás viendo en el gráfico? 😉